Сергей Григорьевич Глинкин родился 2 октября 1921 года в городе Ельце, ныне входящем в состав Липецкой области, в семье рабочего. С 1932 года он жил в Москве, где окончил школу ФЗУ и работал токарем на Московском заводе имени С. Орджоникидзе. Параллельно Сергей учился в аэроклубе.

В 1940 году Глинкин окончил 2-ю Борисоглебскую Краснознаменную военную авиационную школу летчиков имени В.П. Чкалова. С 26 июля 1943 года он участвовал в боевых действиях Великой Отечественной войны в составе военно-воздушных сил. Занимал должность командира звена в 5-м гвардейском истребительном авиационном полке (11-я гвардейская истребительная авиационная дивизия, 1-й гвардейский смешанный авиационный корпус, 17-я воздушная армия, 3-й Украинский фронт) с званием гвардии лейтенанта.

За свои боевые заслуги, включая 148 боевых вылетов, участие в 45 воздушных боях и сбитие 19 вражеских самолётов, Сергей Глинкин был награжден орденом Ленина, четырьмя орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени и тремя орденами Красной Звезды, а также медалями. За личное мужество и умелое командование ему было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».