Иван Иванович Борзов родился 21 октября 1915 года в деревне Староворово, которая теперь входит в Егорьевский район Московской области. Во время Великой Отечественной войны Борзов сначала был заместителем командира, а затем командиром эскадрильи, и с сентября 1943 года возглавил 1-й гвардейский минно-торпедный авиационный полк Военно-воздушных сил Краснознамённого Балтийского флота.

Иван Иванович достиг звания гвардии подполковника и за свою службу был высоко отмечен, получив два ордена Ленина, шесть орденов Красного Знамени, орден Ушакова 2-й степени, орден Отечественной войны 2-й степени, два ордена Красной Звезды и множество медалей. За личное мужество и умелое командование полком Ивану Борзову было присвоено звание Героя Советского Союза, с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Его именем названа улица в городе Калининграде, где также открыта мемориальная доска. Надгробный памятник Ивану Ивановичу установлен в Москве на Новодевичьем кладбище. Кроме того, гвардейскому Краснознамённому Клайпедскому минно-торпедному авиационному полку КБФ было присвоено его имя, увековечивая память о заслугах Борзова перед страной.