Андрей Андреевич Баштырков родился 4 октября 1914 года в деревне Судимирка, ныне Угличского района Ярославской области, в семье рабочего. В 1934 году он окончил два курса Московского машиностроительного института и работал токарем на 2-м Московском часовом заводе. С июня 1941 года участвовал в Великой Отечественной войне в составе военно-воздушных сил.

Баштырков служил командиром звена в 24-м минно-торпедном авиационном полке 5-й бомбардировочной авиационной бригады Военно-воздушных сил Северного флота, достигнув звания капитана. За мужество и героизм в боях он был награжден орденом Ленина, орденами Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды и медалями.

Бюст Андрея Баштыркова, в числе 53-х летчиков-североморцев, удостоенных звания Героя Советского Союза, установлен на Аллее героев-авиаторов Северного флота на улице Преображенского в поселке Сафоново, городе Североморск Мурманской области. Его имя также увековечено в названии улицы в городе Ковдор и на каменных плитах мемориала в память о летчиках ВВС Краснознаменного Северного флота, погибших в море в 1941–1945 годах, который был открыт 17 августа 1986 года на берегу Кольского залива. Звание Героя Советского Союза было присвоено ему посмертно.