Алексей Ильич Алеевский родился 18 октября 1913 года в селе Мокрое, которое сейчас входит в состав Сасовского района Рязанской области, в семье крестьянина. Он переехал в Москву, где окончил школу ФЗУ Метростроя. С 1935 по 1938 год Алеевский проходил срочную службу в Красной Армии, а после демобилизации работал на заводе слесарем.

В июле 1941 года Алеевский был повторно призван в армию Чердынским райвоенкоматом, а с января 1942 года он начал службу в действующей армии. Алеевский был командиром танковой роты 28-го отдельного танкового полка (в составе 16-й гвардейской механизированной бригады, 6-го гвардейского механизированного корпуса, 4-й танковой армии, 1-го Украинского фронта), достиг звания лейтенанта.

За его мужество и героизм, особенно проявленные при форсировании реки Одер и удержании плацдарма на её западном берегу, Алексею Алеевскому было посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Он был награжден орденами Ленина и Красного Знамени.