Алексей Иванович Балясников родился 4 февраля 1920 года в селе Новиково Староюрьевского района Тамбовской области в семье крестьянина. После окончания фабрично-заводского училища речников он работал рулевым на пассажирском теплоходе Московского речного пароходства. В 1939 году Балясников был призван в Красную Армию и окончил 2-ю Борисоглебскую Краснознаменную военную авиационную школу летчиков имени В.П. Чкалова.

С июня 1941 года, с началом Великой Отечественной войны, он служил на фронте в военно-воздушных силах. Занимал должность командира эскадрильи в 181-м гвардейском истребительном авиационном полке 15-й гвардейской истребительной авиационной дивизии 10-го истребительного авиационного корпуса 8-й воздушной армии 4-го Украинского фронта, дослужившись до звания гвардии капитана.

За мужество и героизм, проявленные в воздушных боях против немецко-фашистских захватчиков, Алексею Балясникову было присвоено звание Героя Советского Союза. Он был награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени и другими медалями. В честь его заслуг в городе-герое Киеве на Городском кладбище «Берковцы» установлен памятник